傅里叶级数
任意周期函数f(t)都可以用正弦波的叠加表示
f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n\sin(\omega nt+\phi _n)
符号说明:
f(t) \quad 表示要拟合的任意周期函数
\sum \quad 表示求和
A_n \quad 第n个正弦波的振幅
\omega \quad 基角速度，周期函数f(t)的角速度: \omega =\frac{2\pi}{T},T为函数f(t)的周期
n \quad 第n个正弦波
t \quad 时间
\phi _n\quad 第n个正弦波的初相位
展开周期函数f(t)这个式子
f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n\sin(\omega nt+\phi _n)\\
\quad\\
三角函数和角公式展开\\
\quad\\
=\sum _{n=0}^{+\infty}A_n(\sin \omega nt\cos \phi _n+\cos \omega nt\sin \phi _n)\\
=\sum _{n=0}^{+\infty}A_n\sin \omega nt\cos \phi _n+A_n\cos \omega nt\sin \phi _n\\
=\sum _{n=0}^{+\infty}A_n\sin \phi _n\cos \omega nt+A_n\cos \phi _n\sin \omega nt\\
设: A_n\sin \phi _n=a_n \quad A_n\cos \phi _n=b_n整理式子得
f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)\\
这就是傅里叶级数的式子，现在只需要求出系数a_n和b_n,在求系数之前先补充下三角函数系，及其正交性
三角函数系及其正交性
三角函数系:\{0,1,\sin(\omega t) \cos(\omega t),\sin(2\omega t),\cos(2\omega t),...,\sin(n\omega t)\cos(n\omega t)\}三角函数系的正交性:
- 向量的正交性：为什么先说向量正交，因为三角函数的正交性是从向量的正交演变而来的向量正交，即两个向量的内积为0\quad <u,v>=0比如\vec{u} (a,b) \quad\vec{v} (c,d),内积为a*b+c*d=0
- 从向量内积到函数内积函数的内积:假如函数是离散的，\sum_{n=0}^{+\infty}f(t)g(t)=0扩展到连续的函数，\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(t)dt=0函数可以看做无穷维的向量
- 三角函数的正交性
在三角函数系中任取两个相乘
sin(nwt) \quad cos(mwt):\\
\quad\\
\int_0^Tsin(nwt)cos(mwt)\,dt\\
三角函数积化和差公式\\
=\int_0^T\frac{1}{2}[sin(nwt+mwt)+sin(nwt-mwt)]dt\\
=\int_0^T\frac{1}{2}sin(nwt+mwt)dt+\int_0^T\frac{1}{2}sin(nwt-mwt)dt\\
当n=m或者n\not ={m}时，都等于0
sin(nwt) \quad sin(mwt):\\
\quad\\
\int_0^Tsin(nwt)sin(mwt)\,dt\\
三角函数积化和差公式\\
=\int_0^T-\frac{1}{2}[cos(nwt+mwt)-cos(nwt-mwt)]dt\\
=\int_0^T-\frac{1}{2}cos(nwt+mwt)dt+\int_0^T\frac{1}{2}cos(nwt-mwt)dt\\
\quad\\
当n=m时:\\
=\int _0^T-\frac{1}{2}cos(2nwt)+\int_0^T\frac{1}{2}cos(0)dt\\
=0+\frac{T}{2}=T/2\\
\quad\\
当n\not ={m}时:\\
=0\\
---------------------------------\\
其他同理计算，最后得到的结果，就是当两个相同的三角函数的积分为\frac{T}{2},不同的积分为0\\
比如\\
sin(2wt)和sin(2wt)，cos(2wt)和cos(2wt)是相同的\\
sin(2wt)和cos(2wt),sin(2wt)和sin(3wt),是不同的\\
求系数a_n和b_n
上面铺垫了这么多，有了这些基础后，开始求a_n和b_n。
求傅里叶系数有两种方法，一种是直接通过代数计算求得。另一种是利用三角函数的正交性，f(t)在三角函数系上的投影关系，很容易的得到
傅里叶级数:f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)
方法1：代数运算
傅里叶级数:f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)
等式两边同时乘以cos(mwt),再做积分
\int_{0}^{T}f(t)cos(mwt)dt=\int_{0}^{T}\sum_{n=0}^{+\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)]cos(mwt)dt\\
\quad\\
整理式子得\\
\int_{0}^{T}f(t)cos(mwt)dt=\int_{0}^{T}\sum_{n=0}^{+\infty}a_ncos(nwt)cos(mwt)dt+\int_{0}^{T}\sum_{n=0}^{+\infty}b_nsin(nwt)cos(mwt)dt\\
\quad\\
根据三角形的正交性，只有当m=n时，积分才不为0\\
\quad\\
\int_{0}^{T}f(t)cos(nwt)dt=\int_{0}^{T}b_ncos(nwt)cos(nwt)dt=b_n\int_{0}^{T}cos(nwt)cos(nwt)dt\\
\quad\\
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(nwt)dt\\
\quad\\
有个例外，当m=n=0时\\
\quad\\
a_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(nwt)dt\\
\quad\\
为了满足公式的统一性，把a_0单独从公式里提出来,这样就可以使用通用a_n公式了\\
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)\\
同理，等式两边同时乘以sin(mwt),再做积分
\quad\\
\int_{0}^{T}f(t)sin(mwt)dt=\int_{0}^{T}\sum_{n=0}^{+\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)]sin(mwt)dt\\
\quad\\
整理式子得\\
\int_{0}^{T}f(t)sin(mwt)dt=\int_{0}^{T}\sum_{n=0}^{+\infty}a_ncos(nwt)sin(mwt)dt+\int_{0}^{T}\sum_{n=0}^{+\infty}b_nsin(nwt)sin(mwt)dt\\
\quad\\
根据三角形的正交性，只有当m=n时，积分才不为0\\
\quad\\
\int_{0}^{T}f(t)sin(nwt)dt=\int_{0}^{T}b_nsin(nwt)sin(nwt)dt=b_n\int_{0}^{T}sin(nwt)sin(nwt)dt\\
\quad\\
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(nwt)dt\\
\quad\\
总结傅里叶级数公式：f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(nwt)dt
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(nwt)dt
方法2：通过投影关系计算
这时，又得提到线性空间中，点和正交基向量的关系了。
比方说在2维线性空间，如何通过基向量来表示空间下的任意点呢？一个点p(4,5),可以表示成基向量x=(1,0)和y=(0,1)的线性组合，p=4x+5y，写成一般形式p=\alpha x+\beta y。
对于任意一个点a，求线性组合的系数(或者说基向量所占的权重)，就是求点p在基向量上的投影，用一个公式表达。
\alpha=\frac{<\vec{x},\vec{p}>}{<\vec{x},\vec{x}>}\\
\quad\\
\beta =\frac{<\vec{y},\vec{p}>}{<\vec{y},\vec{y}>}\\
分析下投影公式为什么这个：
当基向量\vec{x},\vec{y}为单位向量
点乘<p,x>=|x||p|cos(\phi),其中|p|cos(\phi)表示，向量\vec{p}在基向量\vec{x}的投影，再乘以向量\vec{x}的模长，又因为向量\vec{x}的模长为1,所以求投影等于
\frac{<\vec{x},\vec{p}>}{|\vec{x}|}=<\vec{x},\vec{p}>
但当基向量长度不为1时
当基向量\vec{x},\vec{y}不为单位向量
这时求投影，就应该还要除以基向量的模长
\frac{<\vec{x},\vec{p}>}{|\vec{x}||\vec{x}|}=\frac{<\vec{x},\vec{p}>}{<\vec{x},\vec{x}>}
特别注意：如果基向量不是交的，那么就不能用上面公式，因为点和基向量不是投影的线性关系
从向量投影到正交函数投影
上面在证明三角函数的正交性时，提到了函数可以看做无穷维向量，那么自然而然的，求投影也可以扩展到函数向量上。
对于任意要拟合函数f(t)，在三角函数基:\{0,1,\sin(\omega t) \cos(\omega t),\sin(2\omega t),\cos(2\omega t),...,\sin(n\omega t)\cos(n\omega t)\}做为基，得到的关系：
\frac{<g(x),f(x)>}{<g(x),g(x)>}=\frac{\int_{0}^{T}g(t)f(t)dt}{\int_{0}^{T}g(t)g(t)dt}\\
\quad\\
g(t)为任意的三角函数\\
\quad\\
傅里叶级数：f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)\\
\quad\\
傅里叶级数展开为:\\
\quad\\
f(t)=\frac{<1,f(t)>}{<1,1>}1+\frac{<\sin(\omega t),f(t)>}{<\sin(\omega t),\sin(\omega t)>}\sin(\omega t)+\frac{<\cos(\omega t),f(t)>}{<\cos(\omega t),\cos(\omega t)>}\cos(\omega t)\\
\quad\\
+...\\
\quad\\
+\frac{<\sin(n\omega t),f(t)>}{<\sin(n\omega t),\sin(n\omega t)>}\sin(n\omega t)+\frac{<\cos(n\omega t),f(t)>}{<\cos(n\omega t),\cos(n\omega t)>}\cos(n\omega t)\\
\quad\\
a_0=\frac{\int_{0}^{T}cos(0wt)f(t)dt}{\int_{0}^{T}cos(0wt)cos(0wt)dt}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}cos(0wt)f(t)dt\\
\quad\\
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}cos(nwt)f(t)dt\\
\quad\\
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}sin(nwt)f(t)dt\\
\quad\\
结论
只有a_0和其他a_n有点不一样,为了满足公式的统一性得,傅里叶级数最终式：\\
\quad\\
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)\\
\quad\\
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(nwt)dt\\
\quad\\
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(nwt)dt\\
傅里叶级数的复指数形式
欧拉公式：e^{it}=cost+isint \\
\quad\\
e^{inwt}=cos(nwt)+isin(nwt)\quad(1)\\
\quad\\
e^{-inwt}=cos(nwt)-isin(nwt)\quad(2) \\
\quad\\
(1)式和(2)式相加\quad cos(nwt)=\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2} \\
\quad\\
(1)式和(2)式相减\quad sin(nwt)=\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i} \\
\quad\\
将cos(nwt)和sin(nwt)带入傅里叶级数中f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)]\\
\quad\\
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_n\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2}+b_n\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i}]\\
\quad\\
=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[\frac{a_n}{2}e^{inwt}+\frac{a_n}{2}e^{-inwt}+\frac{b_n}{2i}e^{inwt}-\frac{b_n}{2i}e^{-inwt}]\\
\quad\\
=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[(\frac{a_n}{2}+\frac{b_n}{2i})e^{inwt}+(\frac{a_n}{2}-\frac{b_n}{2i})e^{-inwt}]\\
\quad\\
把式子中的\frac{b_n}{2i}分子和分母同时乘以i,再整理式子\\
\quad\\
=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}[\frac{a_n-b_ni}{2}e^{inwt}+\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-inwt}]\\
展开式子\\
\quad\\
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n-b_ni}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-inwt}\\
\quad\\
\frac{a_0}{2}可以写做：\sum_{n=0}^{0}\frac{a_0}{2}e^{inwt}\\
\quad\\
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-inwt}可以写做：\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}e^{inwt}\\
\quad\\
得到式子f(t)=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_n}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n-b_ni}{2}e^{inwt}+\sum_{n=-1}^{-\infty}\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}e^{inwt}\\
\quad\\
整理式子，得到最终的傅里叶级数的复指数形式:\\
\quad\\
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inwt}
c_n = \begin{cases}
\frac{a_0}{2} & \text{当 } n = 0 \text{ 时} \\
\frac{a_n - b_n i}{2} & \text{当 } n > 0 \text{ 时} \quad n=1,2,3,...,+\infty \\
\frac{a_{-n} + b_{-n} i}{2} & \text{当 } n < 0 \text{ 时} \quad n=-1,-2,-3,...,-\infty
\end{cases}
复指数函数的正交性
函数可以看做无穷维向量。三角函数系具有正交性，那么复指数函数是否具有正交性？
上面介绍了三角函数系的正交性，同理复指数函数\{e^{-inwt},...,e^{inwt}\}也具有正交性。
任取两个复指函数：e^{inwt}，e^{imwt},验证正交性。\\
\int_0^Te^{inwt}e^{-imwt}dt\\
至于为什么复指数内积，会把第二个复指数的虚部符号取反，请查看复数内积的文章\\
\quad\\
接下来先计算e^{inwt}e^{-imwt}的乘积\\
\quad\\
e^{inwt}e^{-imwt}=(cos(nwt)+isin(nwt))(cos(mwt)-isin(mwt))\\
\quad\\
=cos(nwt)cos(mwt)-cos(nwt)sin(mwt)i+sin(nwt)cos(mwt)i-sin(nwt)sin(mwt)i^2\\
\quad\\
=cos(nwt)cos(mwt)+sin(nwt)sin(mwt)+[sin(nwt)cos(mwt)-cos(nwt)sin(mwt)]i\\
\quad\\
根据三角函数和差角公式\\
\quad\\
cos(nwt)cos(mwt)+sin(nwt)sin(mwt)=cos(nwt-mwt)=cos((n-m)wt)\\
\quad\\
sin(nwt)cos(mwt)-cos(nwt)sin(mwt)=sin(nwt-mwt)=sin((n-m)wt)\\
\quad\\
e^{inwt}e^{-imwt}=cos((n-m)wt)+sin((n-m)wt)i\\
\quad\\
得到\\
\quad\\
\int_0^Te^{inwt}e^{-imwt}dt=\int_0^T[cos((n-m)wt)+sin((n-m)wt)i]dt\\
=\int_0^Tcos((n-m)wt)dt+\int_0^Tsin((n-m)wt)idt\\
\quad\\
当n=m时\\
\int_0^Te^{inwt}e^{-imwt}dt=T+0=T\\
当n\not ={m}时\\
\int_0^Te^{inwt}e^{-imwt}dt=0
求系数c_n
现在只需要求得c_n的值,有3种方法求得
方法1：代数运算
求c_n
当n=0时
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)cos(nwt)dt=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt \\
当n>0时
\frac{a_n - b_n i}{2}=\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)cos(nwt)dt-(\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)sin(nwt)dt)i]\\
=\frac{1}{T}[\int_0^Tf(t)cos(nwt)dt-\int_0^Tf(t)isin(nwt)dt]\\
=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)[cos(nwt)-isin(nwt)]dt\\
其中cos(nwt)-isin(nwt)为欧拉公式：e^{-inwt}=cos(nwt)-isin(nwt)\quad \\
=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt\\
当n<0时
\frac{a_{-n} + b_{-n} i}{2}=\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)cos(-nwt)dt+(\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)sin(-nwt)dt)i]\\
=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)cos(-nwt)dt+\frac{1}{T}(\int_0^Tf(t)sin(-nwt)dt)i\\
=\frac{1}{T}[\int_0^Tf(t)cos(-nwt)dt+\int_0^Tf(t)isin(-nwt)dt]\\
=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)[cos(-nwt)+isin(-nwt)]dt\\
其中cos(-nwt)+isin(-nwt)=cos(nwt)-isin(nwt)=e^{-inwt}\\
=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt\\
求的c_n在n=0,n>0,n<0时都等于
\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-inwt}dt
方法2：代数运算
求c_n
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inwt}\\
两边同时乘以e^{-imwt}，再做积分\\
\int_{0}^{T}f(t)e^{-imwt}dt=\int_{0}^{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inwt}e^{-imwt}dt\\
=c_n\int_{0}^{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inwt}e^{-imwt}dt\\
根据复指数函数的正交性，有且仅当n=m时，才有值\\
\int_{0}^{T}f(t)e^{-inwt}dt=c_n\int_{0}^{T}e^{inwt}e^{-inwt}dt=c_nT\\
\quad\\
c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-inwt}dt
方法3：通过投影关系计算
和傅里叶级数，投影推导过程同理，这里直接略过了，仔细想想也就明白了
结论
傅里叶级数的复数形式\\
\quad\\
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inwt}\\
\quad\\
c_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-inwt}dt