向量内积
回顾下向量内积，当两个向量
u(2,3),v(4,5)
内积
<u,v>=2*5+3*4=22
<>为内积符号
内积满足线性性，即
<xu,v>=x<u,v>
其中x为任意实数，例如x=6时
<6(2,3),(4,5)>=<(12,18),(4,5)>=138
6<(2,3),(4,5)>=6*23=138
当 x 等于虚数 i 时
<i(2,3),(4,5)>=<(2i,3i),(4,5)>=23i
i<(2,3),(4,5)>=i(8+15)=23i
从向量内积过渡到复数内积
我开始的理解（错误的）
复数在复平面可以看做坐标，例如复数:
u\quad 2+3i,v\quad 4+5i
u的实部为2, 虚部为3。v的实部为4, 虚部为5
可以看做两个向量坐标 u(2,3) 和 v(4,5)的内积，结果是22
因为向量的内积也是一个实数，所以理所当然被我被我看做是一个实数，我认为这是合理的。
当然这样是错误的，因为不满足上面说的线性性
例如: u,v乘以虚数i
<i(2+3i),4+5i>=<-3+2i,4+5i>=-12+10=-2
i<2+3i,4+5i>=i*(8+15)=23i
正确的复数内积定义
<u,v>=u*\bar {v}
其中\bar {v}表示v的共轭复数，例如v=4+5i,\,\bar {v}=4-5i\,,复数内积<u,v>,\,等于取复数v的共轭再相乘,也就是说结果还是一个复数。
关键是复数内积这样定义有什么实际意义呢？
还是举个例子
u\quad 2+3i,v\quad 4+5i
<2+3i,4+5i>=(2+3i)*(4-5i)=8-10i+12i-15i^2=23+2i
查看最后得到的复数结果，实部和虚部。可以看到
实部为向量(2,3)(4,5)的点乘
虚部为向量(2,3)(4,5)的叉乘的相反数
更一般的，对于任意两个复数
u\quad a+bi,v\quad c+di
<a+bi,c+di>=(a+bi)*(c-di)=ac-adi+bci-bdi^2=(ac+bd)-(ad-bc)i
可以看到复数内积的结果，包含向量的内积和叉积！
这样定义的复数内积，满足内积的线性性吗？
<i(2+3i),4+5i>=<-3+2i,4+5i>
=(-3+2i)*(4-5i)
=-12+15i+8i-10i^2=-2+23i
i<2+3i,4+5i>=i*[(2+3i)*(4-5i)]
=i*[8-10i+12i-15i^2]=i(23+2i)=-2+23i